Смысл деления по содержанию нелегко усваивается учениками ввиду отвлеченного значения делителя, который при этом виде деления является искомым.

При объяснении решения задач на деление по содержанию учитель, опираясь на личный опыт детей (они обычно понимают смысл выражения «молоко находится или содержится в банке»), показывает путем переливания, как узнать, сколько раз, например, по 2 стакана воды содержится в банке, вмещающей 6 стаканов воды.

Затем решается задача: На детское платье идет 2 м сатина. Сколько таких платьев можно сшить из 6 м сатина?

Будем от 6 м отделять по 2 м на каждое платье; платьев выйдет столько, сколько раз по 2 м содержится в 6 л, то есть 3. Учитель показывает образец записи решения этой задачи:

6 м : 2 м = 3. Ответ: 3 платья.

Или:

6 м : 2 м = 3 (платья).

Учитель обращает внимание детей на то, что сначала они узнали, сколько раз в 6 м содержится по 2 ж, а именно 3 раза. Значит, столько сшили платьев. Наименование записываем в скобках.

Чтобы решить задачу на увеличение числа в несколько раз, ученик должен понимать смысл выражения «в несколько раз больше» как имеющего значение «несколько раз по столько». Осознанию значения этих выражений помогает выполнение учениками заданий практического характера:

1. Обведите карандашом на одной строчке 3 клетки, а на другой строчке — 4 раза по 3 клетки, то есть в 4 раза больше клеток. 
   
2. Нарисуйте 3 квадратика, а кружков нарисуйте в 2 раза больше. 
   
3. Начертите один отрезок длиной в 4 см. Начертите другой отрезок в 3 раза длиннее. 
   
4. Начертите отрезок длиной в 3 см. Удлините его в 2 раза.

Задачи на увеличение числа в несколько раз могут быть как с конкретным содержанием, так и с отвлеченным.

Задачи на увеличение числа в несколько раз имеют несколько разновидностей, а именно задачи, в которых требуется:

1. найти число, в несколько раз большее данного, обозначающего количество тех же предметов, которые обозначает и данное число; 
   
2. найти число, обозначающее целое, в несколько раз большее его части; 
   
3. найти число, в «несколько раз большее данного, обозначающее другие предметы, чем те, которые обозначает данное число, например:

В живом уголке было 2 кролика, а морских свинок в 3 раза больше. Сколько морских свинок было в живом уголке?

При решении этой задачи ученику приходится преодолевать дополнительную трудность, связанную с правильной постановкой наименований при числах.

Объяснение решения задач на увеличение числа в несколько раз проводится на основе использования понятия «столько же». «В несколько раз больше» означает: «несколько раз постолько». Использование такого объяснения помогает правильно поставить наименования чисел при решении рассматриваемой задачи. При этом можно рассуждать так:

Морских свинок могло быть столько же, сколько кроликов, но их было 3 раза по столько.

Отсюда запись решения:

2 св х 3 = 6 св.

Отыскать способ решения задач на уменьшение числа в несколько раз можно двумя путями:

1. объяснить значение выражения «в несколько раз меньше» как требования найти часть данного числа (этот подход дан в учебнике для II класса); 
   
2. противопоставить рассматриваемые задачи уже известным для детей задачам на увеличение числа в несколько раз, вводя эти задачи одну вслед за другой, противоположной ей.

1. Обведите карандашом на одной строчке 12 клеток, а на другой— в 4 раза меньше. 
   
2. Нарисуйте 6 кружков, а квадратиков нарисуйте в 2 раза меньше.
   
3. Начертите один отрезок длиной в 12 см, а другой в 3 раза короче. 
   
4. Вырежьте полоску шириной в 1 см, длиной в 8 см. Укоротите ее в 2 риза.

Далее детям предлагают для решения сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно различные задачи на уменьшение числа в несколько раз, перемежая их с задачами на увеличение числа в несколько раз. Разновидности этих задач аналогичны разновидностям задач на увеличение числа в несколько раз.

Решение простых задач. Задачи на кратное сравнение.

Задачи на кратное сравнение двух чисел по способу решения примыкают к задачам на деление по содержанию. Решая задачу, в которой требуется узнать, сколько пачек тетрадей получится, если 24 тетради разложить по 6 тетрадей, ученик делит 24 тетради по 6 тетрадей и узнает, сколько раз в 24 содержится по 6. Этот же процесс деления ученик выполняет и при решении задачи, в которой надо узнать, во сколько раз 24 тетради больше. 6 тетрадей. Поэтому при объяснении способа решения задач на кратное сравнение чисел учитель предварительно предлагает учащимся решить несколько задач на деление по содержанию и воспроизвести применяемое при этом рассуждение. Задачи на кратное сравнение имеют несколько разновидностей, аналогичных задачам на разностное сравнение. Можно выбрать другую последовательность в ознакомлении детей с решением рассмотренных видов задач на умножение и деление, а именно сначала научить детей решать задачи на кратное сравнение, а потом перейти к решению задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз. При такой последовательностей задачи на кратное сравнение решают непосредственно вслед за решением задач на деление по содержанию. При обучении детей решению рассмотренных задач на умножение и деление необходимо сопоставлять задачи различных видов: задачи на увеличение числа в несколько раз с задачами на кратное сравнение чисел по вопросу во сколько раз больше?, отметив, что в первой задаче отношение чисел известно (например, в 3 раза больше), а во второй задаче его требуется найти, то есть узнать, во сколько раз одно число больше другого. Аналогично сопоставляется задача на уменьшение числа в несколько раз с задачей на кратное сравнение чисел с вопросом во сколько раз меньше?. Задача на увеличение числа в несколько разсопоставляется с задачей на уменьшение числа в несколько раз, как противоположные задачи. Решение простых задач. Задачи на нахождение неизвестного сомножителя. Задачи на нахождение неизвестного сомножителя предлагают детям в отвлеченной форме. Предположим, надо решить задачу: Задуманное число умножили на З и получили 18. Какое число задумали? Учитель пишет задуманное число на каждой из трех карточек, спрашивает учеников, что означает «умножить на 3» (взять 3 раза, повторить слагаемым 3 раза), и ставит 3 карточки на наборное полотно тыльной стороной к классу (рис. 16). Как узнать, какое число записано на каждой карточке? Чтобы узнать это, надо 18 разделить на 3, получится 6. Другая задача: Число 5 умножили на неизвестное число и получили 20. Чему равно неизвестное число? — иллюстрируется рисунком 17. Чтобы узнать, сколько раз надо взять по 5, чтобы получить 20, необходимо 20 разделить по 5, получится 4. После решения этих задач с использованием иллюстраций полезно предложить детям составить задачу по формулам (уравнениям) и решить ее; X x 3 = 18 5 x X = 20 Решение простых задач. Задачи на нахождение неизвестного делимого. Задачу на нахождение неизвестного делимого можно предложить сначала в конкретной форме: Полоску бумаги разрезали на 4 частики каждая часть оказалась длиной в 3 см. Какой длины была полоска? Учитель показывает все части, получившиеся после деления полоски бумаги. Учащиеся соображают, что можно восстановить первоначально взятую полоску, соединив все части (рис. 18).  Рис.18 Узнать длину разделенной полоски можно, умножив 3 см на 4. Длина полоски была равна 12 см. После этого предлагается задача в отвлеченной форме. Задумали число, разделили его на 8 равных частей и получили 6. Чему равно задуманное число? Затем дети составляют и решают задачи по формуле: X : 5 = 7. Разновидность задач на нахождение неизвестного делимогопредставляет задача на отыскание числа по одной доле его. Ранее разобранная задача на нахождение длины полоски по размеру одной из равных ее частей и числу частей может быть сформулирована так: Четвертая часть полоски бумаги составляет 3 см. Чему равна длина всей полоски? Эту задачу ученики решают по аналогии с решением задачи на нахождение неизвестного делимого. Во всей полоске 4 четвертых части, каждая из которых равна 3 см, значит, длина полоски равна 3 см x 4 = 12 см. между величинами. Решение простых задач на умножение и деление является хорошим средством для ознакомления детей с зависимостью между величинами. Когда ученики решают задачу: Купили 3 булочки по 2 руб. Сколько стоили все булочки?—они по цене и количеству купленных предметов находят их стоимость. Учитель обращает внимание детей на то, что известно в задаче (цена булочки и их количество), что надо узнать (сколько стоили все булочки, их стоимость). Решая задачи о покупке других предметов и по другим ценам, дети приходят к обобщению, что по цене и количеству предметов можно узнать их стоимость, применив действие умножения. Чтобы показать наглядно зависимость между ценой, количеством и стоимостью, учитель составляет таблицу, в которой записаны данные о покупке, например, цветных карандашей.  Цена  Количество  Стоимость  5 руб. за карандаш  4 карандаша  ?  5 руб.  ?  30 руб.  ?  5 карандашей  15 руб. По каждой строке этой таблицы ученики составляют простую задачу, решают ее и устанавливают, что известно в задаче и что надо узнать. Учитель подводит детей к обобщению, что по цене и количеству предметов можно узнать их стоимость, по стоимости и цене узнать количество, по стоимости и количеству — цену. Аналогичная работа проводится при ознакомлении детей сзависимостью между другими величинами, например между скоростью, временем и расстоянием. Простые задачи с изменением формулировки условия. Более трудными являются те простые задачи, для решения которых требуется предварительно переформулировать условие задачи. Прежде всего необходимо разобрать подробно содержание одной из задач этой группы, сопроводив разбор рассмотрением соответствующей иллюстрации. Учитель предлагает детям решить задачу: Длина красной полоски 30 см. Эта полоска длиннее белой на 10 см. Какой длины белая полоска? Учитель прикрепляет к классной доске красную полоску длиной в 30 см, записывая обозначение ее размера. Учитель: Какова длина красной полоски? Ученик: Длина красной полоски 30 см.  Учитель: Что сказано про красную полоску?  Ученик: Красная полоска длиннее белой на 10 см.  Учитель: Что можно сказать про белую полоску?  Ученик: Белая полоска короче красной на 10 см.  Учитель: Как же узнать длину белой полоски?  Ученик: От 30 см отнять 10 см, останется 20 см.  Учитель: Что означает число 20 см?  Ученик: Длину белой полоски. Ученик прикрепляет к классной доске белую полоску длиной в 20 см и записывает решение задачи.  Учитель предлагает детям повторить задачу и те рассуждения, которые приводят к отысканию ее решения. С использованием схематического рисунка разбирается задача: Высота тополя 15 м. Тополь на 5 м выше березы. Какой высоты береза? После этого предлагаются две задачи: 1. Длина одной гряды 10 м. Эта гряда длиннее другой на 2 м. Какой длины вторая гряда? 2. Высота нового дома 30 м. Новый дом на 10 м выше старого. Какой высоты старый дом? Учитель записывает текст задач на классной диске. После чтения текста задачи учитель ставит вспомогательные вопросы: Какая гряда длиннее? Какая гряда короче? Какой дом выше? Какой дом ниже? Затем дети самостоятельно решают эти задачи.